第六章、多元函数积分学
思考与点拨
多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用；平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位，平均分数约占高等数学总分的1／4.
本章的考题类型及知识点大致有：
1.二重积分的计算及应用：
(1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过，在其他题中出现过)；
(2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题，2001八题，2005三(15)题，2006三(15)题)；
(3)交换积分次序(2001一(3)题，2004二(10)题，1990一(4)题考过)；
(4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过)；
(5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题，2005三题)；
(6)利用对称性、轮换对称性化简计算(2003五题，2006三(15)题，2009～(2)题)；
(7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题)；
(8)三重积分的应用(2001八题).
2.三重积分的计算及应用：
(1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过)；
(2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题，2006一(3)题，1997三(1)题，2000八题，2003八题，2009二(12)题)；
(3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题，1995三(2)题考过)；
(4)三重积分的应用(2000八题).
3.化多重积分为定积分：
(1)化二重积分为变限积分求导问题(2004二(10)题)；
(2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过)；
(3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题，2003八题).
4.第一型曲线积分与第型曲面积分：
(1)计算(1999八题，2009二(11)题)；
(2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题，2000二(2)题，2007二(14)题)；
(3)应用(未考过).
5.平面第二型曲线积分及应用：
(1)用参数式计算(2004—(3)题，2000五题，2003五题)；
(2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题，2003五题，2008三(16)题)；
(3)路径无关问题与原函数法(1998四题，1999四题，2002六题，2005三(19)题，2006三(19)题，2007一(6)题)；
(4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题)；
(5)挖洞法(2000五题)；
(6)应用(1990九题考过).
6.第二型曲面积分及应用：
(1)用投影法计算(1998六题，2001六题，2004三(17)题)；
(2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题，2006一(3)题，1998六题，2000六题，2004三(17)题，2007三(18)题，2008二(12)题)；
(3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题，2004三(17)题)；
(4)挖洞法(2009三(19)题)；
(5)与微分方程有关的问题(2000六题).
7.空间第二型曲线积分：
(1)用参数式计算(1997三(2)题，2001六题)；
(2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题，2001六题)；
由以上可见，本章在数学(一)中的地位至关重要，考分占总分的1／6，考得最多的是(1)二重积分：包括极坐标中计算，交换积分次序，利用对称性、轮换对称性化简计算；
(2)三重积分：包括在球面坐标、柱面坐标中的计算，利用对称性、轮换对称性化简计算；
(3)平面第二型曲线积分：包括用参数式计算，用格林公式或加、减弧段格林公式计算，路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分，原函数法与求原函数，与微分方程相结合的题；
(4)第二型曲面积分：包括用投影法计算，用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算，转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算，与微分方程相结合的题。
以上各类题的计算，都有一套规X的方法.关键是选择方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上诸项中，“3”以及“5(3)”，有时涉及一些理论，可能会有点困难.但是，正如俗话所说“熟能生巧”，熟了也就不难了。
